Probabilidad de dar con la sorpresa en el roscón

Seguro que en estos días has comido alguna vez roscón de reyes, incluso es posible que te hayas animado a hacerlo en casa. La tradición es que el roscón incluya una o varias figuras (el número suele depender del tamaño) y un haba, con consecuencias diversas para quien los encuentre.

¿Cuál es la probabilidad de encontrar una sorpresa (incluyendo el haba) al hacer el primer corte del roscón? Por supuesto, esa probabilidad dependerá de varios factores; la forma y el tamaño del roscón, el número de sorpresas, la disposición de éstas...

La forma de mi roscón se aproximaba bastante a una corona circular.


En el roscón de anoche las sorpresas estaban colocadas aproximadamente en el medio de la masa, a lo largo de una circunferencia intermedia entre la circunferencia del agujero y la circunferencia exterior del roscón.

Pongamos que las sorpresas estaban a lo largo de una circunferencia de 10 centímetros de radio. Vamos a calcular la longitud de esa circunferencia; ya sabes (y si no aprovechas para recordarlo :-)) que esta longitud es 2⋅π⋅10 al ser de radio 10. 

Ahora vamos a medir el tamaño de las sorpresas. Empezamos por las figuras:

 Longitud de las figuras de mi roscón de reyes Mi roscón tenía dos figuras, ambas de tamaño similar. Cada una venía envuelta en un plástico, como si fuera un caramelo, así que podemos estimar unos 6 centímetros de largo para cada figura.
Además, en mi roscón no podía faltar un haba: Longitud del haba de mi roscón de reyes. Ésta también venía envuelta como un caramelo, así que pongamos que su envoltorio medía unos 3 centímetros.

 En total tenemos 6+6+3 centímetros para las sorpresas y 2⋅π⋅10 centímetros para el radio de la circunferencia en la que estaban colocadas.

Por supuesto, todo esto es una aproximación; ni el roscón era circular, ni las medidas son exactas, ni las sorpresas se ajustaban perfectamente a la forma de una circunferencia... Pero nos sirve para hacernos una idea. Si aceptas estas aproximaciones, vamos a estimar la probabilidad de encontrarnos una sorpresa en el primer corte. Ésta vendrá dada por el cociente entre la longitud total de las sorpresas (casos favorables) y la longitud total de la circunferencia (casos posibles). Medidas de mi roscón de reyes

 Así que la probabilidad de encontrar una sorpresa en el primer corte de mi roscón era, aproximadamente:





 6+6+32⋅π⋅10≈0.24

 

Es decir que para un roscón de ese tamaño con dos figuras y un haba había más o menos un 25% de probabilidades de encontrar una sorpresa al primer corte. Como ves, las matemáticas están en todas partes; sólo hay que buscarlas.

Post original en cifras y letras.